はい、この問題はとても興味深いですね！リチャードのパラドックスは奥深そうに聞こえますが、その核心にある考え方は、実はかなり面白い方法で理解できます。ひとつずつ分解していきましょう。
リチャードのパラドックスとは？
想像してみてください。私たちは「中国語で記述できるすべての数字」をリストアップしたいと考えています。
ステップ1：「すべてを網羅する」数字の辞書を想像する
特別な辞書を作成しましょう。この辞書は漢字を収録するのではなく、中国語の一文で明確に定義できるすべての数字を収録します。
例えば、辞書には次の項目が含まれます：
- 「一」
- 「円周率」
- 「2の平方根」
- 「2で割り切れる最小の素数」（これは2です）
- 「10未満の最大の奇数」（これは9です）
- ...などなど、無限に続きます。
この辞書をより「科学的」にするため、これらすべての中国語の記述を、辞書順（例えば、ピンインや画数など）に上から下へ並べ替えます。こうして、私たちは中国語で定義できるすべての数字を含む、順序付けられたリストを得ます。
これに番号を付けましょう：
- 最初の記述に対応する数字（これを
N1と呼びます） - 2番目の記述に対応する数字（これを
N2と呼びます） - 3番目の記述に対応する数字（これを
N3と呼びます） - ...
- n番目の記述に対応する数字（これを
Nnと呼びます）
このリストは理論上完璧であり、あなたが想像できる、中国語ではっきりと説明できるあらゆる数字を含んでいます。
ステップ2：「いたずら好き」の数字の誕生
さて、私たちは上記の完璧なリストに基づいて、新しい独自の数字を作成します。これを「リチャード数」Rと呼びましょう。
作成ルールは次のとおりです：
- リストの1番目の数字
N1を見て、その小数点以下第1位を取り出します。それが3だと仮定しましょう。すると、私たちの新しい数字Rの小数点以下第1位は、3とは異なる数、例えば4を取ります。 - 次に、リストの2番目の数字
N2を見て、その小数点以下第2位を取り出します。それが1だと仮定しましょう。すると、私たちの新しい数字Rの小数点以下第2位は、1とは異なる数、例えば2を取ります。 - 続いて、リストの3番目の数字
N3を見て、その小数点以下第3位を取り出します。それが4だと仮定しましょう。すると、私たちの新しい数字Rの小数点以下第3位は、4とは異なる数、例えば5を取ります。 - このようにして、リストのn番目の数字
Nnについては、その小数点以下第n位を見て、新しい数字Rの小数点以下第n位をそれとは異なる数にします。（元の数字が1なら2を、2なら1を取る、とにかく異なれば良い）。
この操作は数学では「対角線論法」と呼ばれますが、名前は気にしなくても構いません。あなたが知るべきは、この「違いを見つける」方法によって、私たちは全く新しい数字Rを創造したということです。
この新しい数字Rには非常に重要な特徴があります。それは、私たちの「すべてを網羅する」辞書リストには絶対に存在しないということです！
なぜでしょうか？
- リストの1番目の数字
N1とは同じではありません。なぜなら、その小数点以下第1位がN1とは異なるからです。 - リストの2番目の数字
N2とも同じではありません。なぜなら、その小数点以下第2位がN2とは異なるからです。 - ...
- リストのn番目の数字
Nnとも同じではありません。なぜなら、その小数点以下第n位がNnとは異なるからです。
したがって、この「いたずら好き」の数字Rは、確かに私たちのリストから除外されています。
ステップ3：パラドックスが来る！
少しややこしいですか？心配いりません、最も重要な段階がやってきました。
ご覧ください、問題はここにあります。
私は先ほど、あの「いたずら好き」の数字Rをどのように定義しましたか？私は中国語の記述を使ってそれを説明しましたよね？
私の記述は次のとおりです：「小数点以下第n位が、私たちの『すべてを網羅する』辞書リストのn番目の記述に対応する数字の小数点以下第n位と異なる小数」。
この文は長いですが、確かに明確な中国語の記述ですよね？
ここで問題が発生します。
- 一方で、私たちの辞書作成原則（中国語で明確に定義できるすべての数字を収録する）に基づけば、Rのこの中国語の記述は当然私たちの辞書に収録されるべきです。つまり、数字Rはあのリストにあるべきです。
- もう一方で、Rを構築した方法（対角線による違いを見つける方法）に基づけば、Rがリストに絶対にないことをすでに証明しました。
この「いたずら好き」の数字Rは、リストにあるべきでありながら、リストにあってはならないのです。
ブーム！ これがリチャードのパラドックスです。自己参照によって生じる論理的矛盾です。
それで、問題は一体どこにあるのでしょうか？
このパラドックスが教えてくれるのは、問題が数学にあるのではなく、私たちが使用する自然言語にあるということです。
一見完璧に見える最初の設定――「中国語で明確に定義できるすべての数字のリスト」――自体に問題があります。
なぜでしょうか？この定義自体が曖昧すぎ、そして「自己参照」（Self-Reference）を含んでいるからです。私たちが「いたずら好き」の数字Rを定義するとき、「すべての定義のリスト」という概念そのものを参照しています。これは、「この文は嘘である」と言うのと同じように、自分自身を参照し、論理的なデッドロックを引き起こします。
数学や論理学では、このような問題を避けるため、後に非常に厳格な「形式言語」が発展し、「言語」と「メタ言語」（言語を記述するための言語）を厳密に区別することで、安易な自己参照による混乱状況を回避しています。
簡単なまとめ
- リチャードのパラドックスとは、「定義」に関するパラドックスです。
- それは、「リストにはないが記述可能な数字」を構成することで、「記述可能なすべての数字を含むリスト」という考え方自体が自己矛盾していることを明らかにします。
- その根源は、自然言語の曖昧さと「自己参照」によって引き起こされる論理的欠陥にあります。
これは有名な「床屋のパラドックス」（ある村の床屋は、自分でひげを剃らない人だけひげを剃る。質問：この床屋は誰がひげを剃るのか？）の、数学分野におけるより複雑なバージョンと見なすことができます。どちらも「自己参照」によって引き起こされる論理的な袋小路が核心にあります。