誕生日パラドックスとは何ですか？

はい、承知いたしました。この問題は非常に興味深く、多くの人が初めて聞くと、きっと信じられないと感じるでしょう。

バースデーパラドックスとは？あなたの常識を覆す確率の不思議

皆さん、こんにちは。この非常に興味深い「バースデーパラドックス」について話しましょう。これは、論理的に自己矛盾するような本来の意味でのパラドックスではなく、確率の計算結果が私たちの日常的な直感と大きく異なる状況を指します。

簡単にご説明すると、このパラドックスは以下のように述べています。

ある部屋に、たった23人いれば、その中に少なくとも2人の誕生日が同じである確率は、すでに50%を超えています。

もしこの部屋に57人いれば、その確率は99%以上にまで跳ね上がります。

とても奇妙だと思いませんか？1年は365日（うるう年は考慮しません）ありますから、直感的には、誕生日が同じ人が2人いる確率が半分になるには、100人以上必要だと感じるでしょう？23人で十分だなんて、信じられますか？

私たちの直感が誤る主な原因は、無意識のうちに問題を次のように考えてしまう点にあります。

あるいは

もしこのように考えているのなら、確かに50%の確率に達するには多くの人が必要となるでしょう。

しかし、バースデーパラドックスが本当に問うているのは、次のことです。

違いが分かりますか？鍵となるのは、**「任意の2人」**という点です。

「少なくとも2人が同じ誕生日である」確率を直接計算するのは少し複雑です。なぜなら、「ちょうど2組の人が同じ誕生日である」や「ちょうど3人が同じ誕生日である」など、多くのケースが含まれるからです。

確率論では、その反対側を計算するという非常に一般的なテクニックがあります。

「少なくとも2人が同じ誕生日である」の対立面は何でしょうか？それは非常にシンプルで、**「全員の誕生日が互いに異なる」**ということです。

「全員の誕生日が異なる」確率 P(A) を計算できれば、「少なくとも2人が同じ誕生日である」確率は 1 - P(A) となります。

それでは、23人の場合を計算してみましょう。

1人目：彼の誕生日は365日のどの日でも構いません。誰とも重複することはありません。確率は 365/365 です。
2人目：1人目と重複しないためには、残りの364日のうちのいずれかの日である必要があります。確率は 364/365 です。
3人目：前の2人と重複しないためには、残りの363日のうちのいずれかの日である必要があります。確率は 363/365 です。
...以下同様に...
23人目：前の22人と重複しないためには、残りの 365 - 22 = 343 日のうちのいずれかの日である必要があります。確率は 343/365 です。

さて、これら23人の「全員の誕生日が異なる」確率を掛け合わせてみましょう。

P(全員の誕生日が異なる) = (365/365) * (364/365) * (363/365) * ... * (343/365)

これを計算すると、およそ 0.4927 になります。

すると、私たちが求めている「少なくとも2人が同じ誕生日である」確率は次のようになります。

P(少なくとも2人が同じ誕生日) = 1 - 0.4927 = 0.5073

ご覧の通り、50.73%！確かに50%を超えていますね。

もしそれでも少し分かりにくいと感じるなら、こう考えてみてください。あなたが探しているのは「誰か一人」ではなく、「ペア」なのです。

人数が増えるにつれて、誕生日が同じになる可能性のある「ペア」の数は爆発的に増加します。

あなたには誕生日が「衝突」する253回のチャンスがあり、1年はたった365日です。こう考えると、253回の試行のうち1回成功する確率が50%を超えるのは、より合理的に思えてきませんか？

次に23人以上のパーティーに参加する際は、このちょっとしたゲームを試して、確率論が本当にこんなに不思議なものなのかどうか、ぜひ確認してみてください。