はい、承知いたしました！おしゃべりするような感じで、この面白いパラドックスを分かりやすく説明しましょう。
「二つの封筒のパラドックス」とは？
テレビ番組に参加していると想像してみてください。司会者があなたに全く同じ封筒を2つ渡し、こう言います。
- 「片方の封筒に入っているお金は、もう片方の2倍です。」
- 「具体的な金額は分かりませんが、ルールはこれだけです。」
さて、あなたは無作為に1つの封筒を選びました。これを封筒Aと呼びましょう。開ける前に、司会者はあなたに最後のチャンスを与えます。「もう一つの封筒（封筒B）に交換しますか？」
このとき、あなたは「交換しても、しなくても同じだろう。確率は五分五分だ」と思うかもしれません。
しかし、そこで「賢い」考えが浮かび、あなたは次のように推論を始めます。
- 手元の封筒AにX円入っていると仮定します。
- すると、封筒Bに入っているお金は、50%の確率でAの2倍、つまり2X円です。
- 同時に、50%の確率でAの半分、つまりX/2円です。
- では、封筒Bに交換した場合、私が得られるお金の「期待値」（平均的な利益と理解できます）はいくらになるでしょうか？
- 計算してみましょう。期待値 E = (50%の確率 * 2Xを手に入れる) + (50%の確率 * X/2を手に入れる) =
0.5 * (2X) + 0.5 * (X/2) = X + 0.25X = 1.25X。- なんと！ 期待値は1.25Xで、手元にある現在のXよりも多いではありませんか！だから、私は交換すべきだ！
この推論は完璧に見えます。しかし、最も奇妙な点は、この結論が手元にいくらお金があるか（Xがいくらか）と全く関係ないことです。これは、たとえ封筒Bに交換したとしても、同じ論理に基づいて「やはり封筒Aに戻すべきだ」という結論を導き出せることを意味します。こうして、無限に「交換、交換、交換」を繰り返す奇妙なループが生まれるのです。
これこそが二つの封筒のパラドックスです。一見完璧な数学的推論が、現実には非常に不合理な結論――「常に交換すべきだ」という結論――を導き出すのです。
このパラドックスをどう理解すべきか？
このパラドックスはややこしく聞こえますか？心配はいりません。その問題は、非常に巧妙な論理の罠にあります。上記の「賢い」推論は、実は間違っているのです。
誤りの核心は、全く異なる二つの状況を混同し、変数「X」を誤って使用している点にあります。
スピードを落として、問題をもう少しはっきりと見てみましょう。
1. 「X」は何を意味するのか？
あの間違った推論では、「X」は固定された既知の値として扱われていました。しかし実際には、あなたの手元にあるお金（X）そのものが不確定なのです。
司会者の視点から、このゲームがどのように設定されているかを見てみましょう。司会者は、お金を用意する際、まず「X」を考え、それから「2X」と「X/2」を用意するわけではありません。
彼はこのように準備します。
- まず、より少ない金額を決めます。これをA円と呼びましょう。
- そして、もう一つの封筒にその2倍、つまり2A円を入れます。
したがって、二つの封筒に入っているお金は、最初から**(A, 2A)**という組み合わせなのです。
さて、あなたが選びます。可能性は二つあります。
- ケース1： あなたがA円が入った封筒を手に入れた場合。このとき、あなたの手元にある
X = Aです。もし交換すれば、2Aを得ることになります。あなたはA円得します。 - ケース2： あなたが2A円が入った封筒を手に入れた場合。このとき、あなたの手元にある
X = 2Aです。もし交換すれば、Aを得ることになります。あなたはA円損します。
封筒を開ける前は、これら二つのケースが発生する確率はどちらも50%です。
したがって、あなたが「交換する」という行為の真の期待利益は次のとおりです。
期待利益 = (50%の確率でAを得る) + (50%の確率でAを損する) = 0.5 * (+A) + 0.5 * (-A) = 0
期待利益は0です！ これは、確率的に見ると、交換しても交換しなくても長期的な利益は全く同じであることを意味します。これは私たちの直感と完全に一致します。
2. では、なぜ1.25Xの計算は間違っているのか？
あの古典的な誤った計算 E = 0.5 * (2X) + 0.5 * (X/2) = 1.25X は、上記で述べた二つの状況を無理やり一緒くたにしてしまった点が間違いなのです。
0.5 * (2X)を計算する際、それは手元にあるのが少額（あなたの手元のXは実際にはA）であると仮定しています。0.5 * (X/2)を計算する際、それは手元にあるのが多額（あなたの手元のXは実際には2A）であると仮定しています。
一つの変数Xが、同じ式の中で、ある時は少額のAを、ある時は多額の2Aを表しているのです。ここに問題があります。意味が不確定な変数を使って計算することはできません。
3. 封筒を開けた後、状況は変わるのか？
これこそが、このパラドックスの最も興味深い点です。一度封筒を開けてしまえば、状況は変わるのです！
封筒を開けて、中に100円入っているのを見つけたと仮定しましょう。
ここでX = 100は既知の情報となりました。このとき、もう一つの封筒に入っているお金は、次の二つの状況しかありえません。
- 200円の可能性（もし元の金額のペアが(100, 200)だった場合）
- 50円の可能性（もし元の金額のペアが(50, 100)だった場合）
このとき、あなたが交換すべきかどうかは、**(100, 200)と(50, 100)**という二つの金額のペアのうち、司会者がどちらを選んだ可能性が高いと思うかにかかっています。
- 例を挙げると： もしあなたが、司会者が高額を用意する可能性が低い（例えば、1000円を用意する可能性は10円を用意する可能性よりもずっと低い）と思うなら、手元に10000円があるのを見たとき、あなたは強くもう一つの封筒に5000円が入っていると考えるでしょう、20000円ではなく。この場合、あなたは交換しません。
- 逆に、もし手元に10円しかないのを見た場合、あなたはもう一つの封筒に20円入っている可能性が、5円の可能性をはるかに上回ると感じるかもしれません。この場合、あなたは交換するでしょう。
したがって、一度情報（封筒の中のお金）を得てしまえば、あなたの意思決定は単純な五分五分ではなく、その情報と司会者の行動に対するあなたの推測に基づいた判断になるのです。
まとめ
- パラドックスの源泉：「二つの封筒のパラドックス」は、一見正しく、しかし実際には誤った数学的推論から生じます。この推論は「常に交換すべきだ」という不合理な結論を導き出します。
- 核心的な誤り：誤った推論は、一つの式の中で変数「X」の意味を混同し、異なる二つの状況における金額を同時に表させてしまっています。
- 正しい理解（封筒を開けない場合）：封筒を開ける前は、交換しても交換しなくても期待利益は完全に等しく、どちらも0です。したがって、交換するかどうかはどちらでも同じです。
- 正しい理解（封筒を開けた後）：一度封筒を開けて具体的な金額を見た場合、あなたは新たな情報を得たことになります。このとき、あなたが交換するかどうかの決定は、「司会者が元々どのように金額を選んだのか」というあなたの判断と推測に依存します。
ですから、次に誰かがこの問題であなたを「試す」ことがあれば、教えてあげてください。1.25Xを導き出したあの計算方法は、変数を混同させる数学的な手品を使った巧妙なトリックなのだと！