はい、ではこの非常に興味深い「トムソンのランプのパラドックス」について、できるだけわかりやすくお話ししましょう。
トムソンのランプのパラドックスとは？
想像してみてください。あなたは、とても不思議な卓上ランプと、同じく不思議なタイマーを持っています。このランプにはボタンが1つだけあり、1回押すと点灯し、もう1回押すと消灯します。
さて、ここで思考実験をしてみましょう。
あなたは1分間で、無限回ボタンを押す操作を完了させるつもりです。
とても不可解に聞こえるかもしれませんが、数学的な方法でこれを計画すると、「可能である」ことがわかります。
このパラドックスの仕組み
- 開始： 実験開始時、ランプは消灯しています。
- 1回目の操作：
1/2分（30秒）の時点で、ボタンを押します。ランプは点灯します。 - 2回目の操作：
3/4分（45秒）の時点で、もう一度押します。ランプは消灯します。 - 3回目の操作：
7/8分（52.5秒）の時点で、再び押します。ランプは点灯します。 - 4回目の操作：
15/16分の時点で、もう一度押します。ランプは消灯します。 - ...というように続きます。
法則に気づきましたか？各操作間の時間間隔が半分ずつ短くなっています。1回目は30秒、2回目は15秒、3回目は7.5秒...
これは数学的な収束級数 (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...) であり、その合計は1です。つまり、ちょうど1分の時点で、過不足なくこの無限回の点滅操作を完了できることになります。
パラドックスの登場
さて、ここで最も重要な問題です。
タイマーがちょうど1分を指したとき、このランプは点いているのでしょうか、それとも消えているのでしょうか？
分析してみると、どう考えても矛盾が生じることがわかります。
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論証1：ランプは消えているはずだ。
- 見てください、私たちはランプを消す操作を、常に偶数回目（2回目、4回目、6回目...）に行っています。操作回数は無限なので、「最後の操作」が奇数回であることはなく、したがって最終的な状態は消灯しているはずです。
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論証2：ランプは点いているはずだ。
- いやいや、私たちはランプを点ける操作を、常に奇数回目（1回目、3回目、5回目...）に行っています。どんな消灯操作（例えばn回目）に対しても、その直後に点灯操作（n+1回目）が続きます。操作は無限なので、「最終的な消灯動作」は存在せず、したがってランプは点灯しているはずです。
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矛盾する結論：
- ランプが点いているのか消えているのか、特定することはできません。なぜなら、どんな「点灯」操作の後にも「消灯」が続き、どんな「消灯」操作の後にも「点灯」が続くからです。このシーケンスに終点、つまり「最後の操作」はありません。
- したがって、点いていると言うのも間違いであり、消えていると言うのも間違いです。しかし、ランプには何らかの状態があるはずです。点いてもいなければ、消えてもいない、ということはありえないはずです。
これこそが、トムソンのランプのパラドックスの核心です。論理的には可能に見える操作（1分間で無限回オンオフする）が、回答不可能で自己矛盾する結果を導き出す様子を描写しています。
では、何が問題なのでしょうか？
このパラドックスは、実際の物理的なランプ（現実には無限の速さでボタンを押すことはできません）に関するものではなく、数学、無限、そして論理に関する思考実験です。これは、私たちの直感的な「無限」と、数学的に厳密に定義された「無限」との間の衝突を明らかにしています。
ほとんどの哲学者や数学者は、このパラドックスの「解決策」は、問題そのものが無意味であるという点にあると考えています。
なぜそう言えるのでしょうか？
私たちは、1分
以内の任意の時点（例えば0.99999秒時点）でのランプの状態は定義しましたが、ちょうど1分というその瞬間に、ランプがどのような状態であるべきかは一切定義していません。
- この操作シーケンスは、1分に近づくプロセスを記述していますが、1分そのものを記述していません。
- これは例えるなら、「1未満の任意の数xについて、関数f(x) = 0である」と教えられた後、「f(1)はいくつですか？」と問われるようなものです。与えられた情報からは、あなたは答えることができません。f(1)はどんな値でもありえますし、そもそも定義されていないかもしれません。
- ランプのパラドックスでは、無限にボタンを押し続ける過程で、1分に近づくにつれてオンオフの頻度は無限大へと収束します。「1分」という終点においては、システム全体の状態は不連続であり、未定義なのです。
まとめ
簡単に言えば、トムソンのランプのパラドックスは、論理的欠陥を突くような問いかけです。
あなたは、ある一連のルールを使って、決して終わらないプロセス（ただし時間には限りがある）を記述し、そのプロセスが「停止した」後の状態を尋ねています。
答えは：あなたのルールでは述べられていないので、この問いに答えはありません。
これこそが、この思考実験の最も素晴らしい点です。それは、「無限」という概念を現実の論理に適用する際には、非常に注意が必要であることを教えてくれます。そうしないと、私たちの脳は自分自身が仕掛けた罠に簡単に絡め取られてしまうからです。これは物理的なパラドックスではなく、論理と定義のパラドックスなのです。