こんにちは！このとても興味深い「二封筒問題」についてお話しできて嬉しいです。これは確かに人を混乱させますが、理解すると視界がパッと開けるような感覚になりますよ。
二封筒問題とは？
次のシナリオを想像してみてください。
ある人があなたに全く同じ封筒を2つ差し出し、こう言います。
- 片方の封筒に入っているお金は、もう一方の2倍です。
- 具体的な金額は分かりませんが、一方は
A円、もう一方は2A円であることは確かです。
さて、あなたはランダムに1つの封筒を選びました。開ける前に、その人があなたに尋ねます。「もう1つの封筒と交換しますか？」
このとき、あなたはどう判断すべきでしょうか？
「損することはない」ように見える交換戦略
ほとんどの人は最初、交換しても交換しなくても同じで、確率は50%だから違いはないだろうと思うかもしれません。
しかし、ここで「数学的」な方法で考えてみましょう。パラドックスはここから始まります。
- あなたが持っている封筒の中のお金を
X円と仮定します。 - すると、もう1つの封筒に入っているお金は、2つの可能性しかありません。
- もしあなたが金額の少ない方の封筒を引いたのなら、
2X円。 - もしあなたが金額の多い方の封筒を引いたのなら、
X/2円。
- もしあなたが金額の少ない方の封筒を引いたのなら、
- あなたはランダムに選んだので、これら2つの可能性は等しく、それぞれ50%の確率であるように見えます。
さあ、ここで交換後に得られる金額の「期待値」（Expected Value）を計算してみましょう。つまり、平均的にどれくらいの金額が得られるかということです。
期待値 = (2X を得る確率 × 2X) + (X/2 を得る確率 × X/2)
期待値 = (50% × 2X) + (50% × X/2)
期待値 = X + 0.25X
期待値 = 1.25X
なんと！計算によると、交換後の期待値は 1.25X で、あなたが今持っている X よりも25%も多いではありませんか！
この計算によれば、結論は「あなたは常に交換すべきである！」ということになります。
パラドックスの登場です：もしあなたが交換し、別の封筒を受け取ったとします。それを開ける前に、私があなたに同じ質問をします。「元に戻しますか？」先ほどと全く同じロジックに従えば、あなたの手元にある新しい封筒の金額が Y なら、元に戻す場合の期待値は 1.25Y なので、あなたはまた元に戻すべきだということになります……これは無限の交換のデッドロックに陥ってしまいます。
これは明らかに馬鹿げています。では、一体どこに問題があるのでしょうか？
パラドックスのどこが間違っているのか？
このパラドックスの最も核心的なトリックは、変数「X」の定義が混乱しており、概念がすり替えられていることにあります。
上の計算では、X はある時は「より少ない金額の封筒の金額」を表し、またある時は「より多い金額の封筒の金額」を表していますが、同じ式の中で、それは固定された、既知の基本値として扱われています。これは論理的に誤りです。
別の視点から考えてみましょう
あの紛らわしい X は忘れて、最初の設定から出発しましょう。2つの封筒に入っているお金をそれぞれ A と 2A とします。
あなたが手にしている封筒は、2つのケースしかありません。
- ケース1：あなたは
A円入りの封筒を選んだ。交換すれば2A円を手に入れ、A円の純利益。 - ケース2：あなたは
2A円入りの封筒を選んだ。交換すればA円を手に入れ、A円の純損失。
これら2つのケースが発生する確率はどちらも50%です。
そこで、交換による純利益の期待値を計算してみましょう。
純利益の期待値 = (ケース1の確率 × 利益) + (ケース2の確率 × 利益)
純利益の期待値 = (50% × +A) + (50% × -A)
純利益の期待値 = 0.5A - 0.5A = 0
結論は明確です：数学的期待値の観点からは、交換しても交換しなくても得られる利益は全く同じです。交換によって「儲かる」ことはありません。
では、なぜあの 1.25X という計算は間違っているのでしょうか？
E = 0.5 * (2X) + 0.5 * (X/2) という式の中で、2つの X が同じものを表していないからです。
2Xの項におけるXは、少ない方の封筒の金額（すなわちA）を表します。X/2の項におけるXは、多い方の封筒の金額（すなわち2A）を表します。
A を表す X と 2A を表す X を同じ式の中で、同じ基準値として収益率を計算することはできません。これはリンゴの重さとミカンの価格を足し引きするようなもので、単位が統一されておらず、全く意味がありません。
一聞瞭然の例
あなたが自分の封筒を開け、中に100円入っているのを発見したと仮定しましょう。
さて、あなたは交換すべきかどうかを考えます。もう1つの封筒には、50円か200円のどちらかが入っているはずです。
- 可能性A：封筒のペアが（50, 100）の組み合わせだった場合。あなたは100を手にしたので、交換すれば50を失います。
- 可能性B：封筒のペアが（100, 200）の組み合わせだった場合。あなたは100を手にしたので、交換すれば100を得ます。
交換すべきかどうかは、あなたが可能性Aと可能性Bのどちらの確率が高いと考えるかに完全に依存します。
- もし封筒を渡したのが貧乏な学生だとしたら、彼が100と200の組み合わせ（合計300）を用意する確率は低いかもしれません。その場合、（50, 100）という組み合わせの可能性の方が高いでしょう。そうなれば、あなたは交換すべきではありません。
- もし封筒を渡したのがビル・ゲイツだとしたら、彼が（100, 200）の組み合わせを用意することなど造作もないことです。もしかしたら（100万円, 200万円）の可能性さえあるでしょう。それと比べれば、（50, 100）のような「少額」の組み合わせの確率は低いかもしれません。そうなれば、あなたは交換すべきかもしれません。
わかりましたか？あなたがより多くの情報（例えば、封筒を開けて具体的な金額を見ることや、仕掛け人の背景に関する知識）を得た後では、意思決定は単純な50/50ではなくなります。パラドックスのあのアルゴリズムは、まさに現実世界で極めて重要となるこれらの「事前知識」を無視しているのです。
まとめ
二封筒問題は非常に古典的な論理的罠であり、数学そのものに問題があるわけではなく、問題の構築方法に誤解を招く部分があるのです。
- 核心的な誤り：あの「
1.25X」という計算は、変数Xの定義を誤って混同しています。 - 正しい視点：神の視点から見ると、金額を
Aと2Aと設定した場合、交換による期待収益はゼロです。 - 現実の意思決定：あなたが封筒を開けて具体的な金額を見た後では、あなたの意思決定は純粋な数学の問題ではなく、「この金額がどのようにして生まれたのか」についての確率的判断（ベイズ推論）に基づきます。
ですから、次に誰かがこの問題であなたを「試す」ようなことがあれば、あなたは彼にこう伝えることができます。「あの巧妙に見える1.25Xの計算は、実は巧妙な論理的トリックに過ぎないんですよ」と。😉